Sejarah Trigonometri: Januari 2017

SEJARAH TRIGONOMETRI

Trigonometri (dari bahasa yunani, trigonon = tiga sudut dan metro = mengukur) adalah sebuah cabang matematika yang berhadapan dengan sudut segi tiga dan fungsi trigonometrik seperti sinus, cosinus, dan tangen. Trigonometri memiliki hubungan dengan geometri, meskipun ada ketidaksetujuan tentang apa hubungannya; bagi beberapa orang, trigonometri adalah bagian dari geometri.
Sejarah awal
Awal trigonometri dapat dilacak hingga zaman Mesir Kuno dan Babilonia dan peradaban Lembah Indus, lebih dari 3000 tahun yang lalu. Matematikawan India adalah perintis penghitungan variabel aljabar yang digunakan untuk menghitung astronomi dan juga trigonometri. Lagadha adalah matematikawan yang dikenal sampai sekarang yang menggunakan geometri dan trigonometri untuk penghitungan astronomi dalam

bukunya Vedanga, Jyotisha, yang sebagian besar hasil kerjanya hancur oleh penjajah India.
Istilah Sinus, Cosinus dan Tangen meski bagian dari trigonometri, namun ketiganya jauh lebih tua ketimbang istilah Trigonometri itu sendiri dalam sejarah penemuannya. Istilah Trigonometri pertama kali digunakan tahun 1595. Sedang istilah Sinus, Cosinus, dan Tangen sudah muncul pada tahun 600-an. Tapi, tulisan ini bukan untuk membahas sejarah istilah trigonometri.
Secara etimologi, arti kata sinus jauh dari isi konsepnya. “Sinus” adalah kata latin yang artinya justru “buah dada”. Konsep perbandingan sisi depan thdp hipotenusa dlm segi3, dalam bahasa sansekerta populer disebut “jiva” kemudian dalam peradaban islam berkembang jadi “Jiba”. Karena perkembangan ucapan dalam arab menjadi “Jaib” yang secara harfiah artinya ”buah dada”. Nah, buah dada dalam istilah latinnya adalah “sinus” dan berkembang jadi “sine” di Inggris. Jadi jangan heran kalau dalam kamus bahasa latin sinus = “buah dada”
Baru berkembang cosinus; “complementary sinus”.
Sedang tangen berkembang beberapa dekade kemudian, berasal dari kata latin “tangere” artinya menyentuh. Yang berangkat dari konsep segmen garis AB yang menyentuh lingkaran di A. Tangen adlh perb AB dan AO dlm sudut BOA
Matematikawan Yunani Hipparchus sekitar 150 SM menyusun tabel trigonometri untuk menyelesaikan segi tiga. Matematikawan Yunani lainnya, Ptolemy sekitar tahun 100 mengembangkan penghitungan trigonometri lebih lanjut.
Pada tahun 499, Aryabhata, seorang ahli matematik India mencipta jadual-jadual separuh perentas yang kini dikenali sebagai jadual sinus, bersama-sama dengan jadual kosinus. Beliau menggunakan zya untuk sinus, kotizya untuk kosinus, dan otkram zya untuk sinus songsang, dan juga memperkenalkan versinus.
Pada tahun 628, lagi seorang ahli matematik India, Brahmagupta, menggunakan formula interpolasi untuk menghitung nilai sinus sehingga peringkat kedua untuk formula interpolasi Newton-Stirling.
Ahli matematik Parsi, Omar Khayyam (1048-1131), menggabungkan trigonometri dan teori penghampiran untuk memberkan kaedah-kaedah untuk menyelesaikan persamaan algebra melalui min geometri. Khayyam menyelesaikan persamaan kuasa tiga, x3 + 200x = 20×2 + 2000, dan mendapat punca positif untuk kuasa tiga ini melalui persilangan hiperbola segi empat tepat dan bulatan. Penyelesaian angka hampiran kemudian didapat melalui interpolasi dalam jadual-jadual trigonometri.
Kaedah-kaedah perinci untuk membina jadual sinus untuk mana-mana satu sudut diberikan oleh ahli matematik India, Bhaskara pada tahun 1150, bersama-sama dengan sesetengah formula sinus dan kosinus. Bhaskara juga memperkembangkan trigonometri sfera.
Nasir al-Din Tusi, ahli matematik Parsi, bersama-sama dengan Bhaskara, mungkin merupakan orang-orang pertama untuk mengolahkan trigonometri sebagai satu disiplin matematik yang berlainan. Dalam karyanya, Karangan mengenai sisi empat merupakan orang pertama untuk menyenaraikan enam kes yang berbeza untuk segi tiga bersudut tegak dalam trigonometri sfera.
Pada abad ke-14, al-Kashi, seorang ahli matematik Parsi, dan Ulugh Beg (cucu lelaki Timur), seorang ahli matematik Timurid, menghasilkan jadual-jadual fungsi trigonometri sebagai sebahagian kajian astronomi mereka.
Bartholemaeus Pitiscus, ahli matematik Silesia menerbitkan karya trigonometri yang terpengaruh pada tahun 1595 dan memperkenalkan perkataan “trigonometri” kepada bahasa Inggeris dan bahasa Perancis.
Pada pertemuan kali ini, trigonometri yang akan dibahas adalah trogonometri yang berhubungan dengan rumus-rumus jumlah/selisih dan hasil kali baik untuk sinus, cosinus, maupun tangen

SUDUT-SUDUT ISTIMEWA

Sudut istimewa adalah sudut dengan nilai perbandingan trigonometri yang dapat ditentukan nilainya tanpa menggunakan kalkulator. Sudut-sudut istimewa antara lain: 0°, 30°, 45°, 60°, 90°, dan seterusnya. Berikut ini merupakan nilai perbandingan trigonometri sudut-sudut istimewa tersebut.
Pengertian dan definisi Trigonometri. Trigonometri adalah bagian dari ilmu matematika yang mempelajari tentang hubungan antara sisi dan sudut suatu segitiga serta fungsi dasar yang muncul dari relasi tersebut. Trigonometri merupakan nilai perbandingan yang didefinisikan pada koordinat kartesius atau segitiga siku-siku. Bagi para siswa, trigonometri identik dengan fungsi trigonometri yang meliputi sinus (sin), cosinus (cos), tangen (tan), cosecan (cosec), secan (sec), dan cotangen (cotan) yang kesemuanya merupakan cara untuk menentukan suatu sisi sebuah segitiga atau sudut yang terbentuk dari dua buah sisi dalam sebuah segitiga.
Trigonometri merupakan ilmu matematika yang sangat penting dalam kehidupan. Aplikasi ilmu trigonometri dalam kehidupan mencangkup segala bidang seperti astronomi, geografi, teori musik, elektronik, ekonomi, medical, teknik, dan masih banyak lagi. Dengan trigonometri kita bisa mengukur jarak suatu bintang diangkasa tanpa harus pergi kesana. Dengan trigonometri kita bisa mengukur sudut ketinggian tebing tanpa harus memanjatnya. Bisa mengukur lebar suatu sungai tanpa harus menyeberanginya. Itulah manfaat dari mempelajari trigonometri dalam kehidupan sehari-hari.
Trigonometri adalah sebuah konsep. Hal pertama yang perlu dimengerti dalam memahami konsep dasar trigonometri adalah mengetahui, mengerti dan memahami bentuk dan rumus-rumus sebuah segitiga, terutama segitiga siku-siku. Pada dasarnya sebuah segitiga selalu terdiri dari 3 sisi, yaitu sisi miring, sisi samping, dan sisi depan. Dan tiga buah sudut yaitu sudut tegak lurus, sudut depan dan sudut samping. Dimana jika di tambahkan jumlah sudut sebuah segitiga haruslah 180 derajat.
Tujuan utama mempelajari trigonometri dalam ilmu matematika adalah untuk menemukan nilai sebuah sudut atau panjang sebuah sisi sebuah segitiga. Untuk tujuan tersebut diatas maka trigonometri memiliki 2 nilai fungsi, yaitu:
Nilai fungsi Trigonometri
1. Nilai fungsi trigonometri unuk sudut istimewa
Sudut istimewa disini adalah sudut yang besarnya 0, 30, 45, 60, 90 derajat. Untuk menentukan nilai fungsi sudut istimewa digunakan konsep geometri.
2. Nilai fungsi trigonometri untuk sudut lainnya
Untuk menentukan nilai fungsi trigonometri sudut tidak istimewa biasanya menggunakan tabel atau scientific kalkulator yang dilengkapi dengan fungsi trigonometri.
Identitas Trigonometri
Dari nilai fungsi trigonometri tersebut kemudian diperoleh identitas trigonometri. Identitas trigonometri adalah suatu persamaan dari fungsi trigonometri yang bernilai benar untuk setiap sudutnya dengan kedua sisi ruasnya terdefinisi. Identitas trigonometri terbagi 3, yaitu Identitas Kebalikan, Identitas Perbandingan dan Identitas Phytagoras yang masing-masing memiliki fungsi dasar, yaitu:

Identitas Kebalikan	Identitas Perbandingan	Identitas Phytagoras
Cosec A = 1/ sin A Sec A = 1/cos A Cot A = 1/ tan A	Tan A = Sin A/ Cos A Cot A = Cos A / Sin A	Cos² A + Sin² A = 1 1 + tan² A = Sec² A 1 + Cot² A = Cosec² A

Fungsi trigonometri diatas dapat di proyeksikan kedalam sebuah grafik. Grafik fungsi trigonometri digunakan untuk mendeskripsikan fenomena alam seperti gerak gelombang, gerak harmonik sederhana, dan fenomena kelistrikan. Grafik fungsi trigonometri meliputi: grafik sinus, grafik cosinus dan grafik tangen.

MACAM –MACAM SUDUT ISTIMEWA

Sudut (90 - a) sin (90 - a) = Cos a Cos (90 - a) = sin a tan (90 - a) = cot a	Sudut (90 + a) sin (90 + a) = Cos a Cos (90 + a) = - sin a tan (90 + a) = - cot a
Sudut (180 - a) sin (180 - a) = sin a Cos (180 - a) = - Cos a tan (180 - a) = - tan a	Sudut (180 + a) sin (180+a) = -sina Cos (180 + a) = - Cos a tan (180 + a) = tan a
Sudut (270 - a) sin (270 - a) = - Cos a cos (270 - a) = - sin a tan (270 - a) = ctg a	Sudut (270 + a) sin (270 + a) = -cos a cos (270 + a) = sin a tan (270 + a) = - cot a
Sudut (360 - a) sin (360 - a) = - sin a Cos (360 - a) = Cos a tan (360 - a) = - tan a	Sudut (360 + a) sin (360 + a) = sin a Cos (360 + a) = Cos a tan (360 + a) = tan a

Sudut Negatif

sin (-a) = - sin a
Cos (-a) = Cos a
tan (-a) = - tan a

Sudut negatif dihitung searah dengan jarum jam.
Tanda pada sudut negatif sesuai dengan tanda pada kuadran ke IV.

Keterangan :

Untuk a sudut lancip

Kuadran	Hubungan
I	a	atau	(90 - a)
II	(180 - a)		(90 + a)
III	(180 + a)		(270 - a)
IV	(360 - a)		(270 + a)

Tabel Nilai Trigonometri Sudut Istimewa

Pada tabel di bawah ini, perhatikan bahwa nilai sinus dimulai dari 0 menjadi 1 dan kembali lagi
ke 0. Sebaliknya, nilai cosinus dimulai dari 1 menjadi 0 dan kembali ke 1 begitu seterusnya.
Lihat bahwa beberapa sudut memiliki nilai sinus atau cosinus yang sama tapi sebagian berbeda tanda
yaitu ada yang positif dan ada yang negatif.
Nah untuk menentukan positif atau negatif,
maka gunakanlah konsep kuadran yang telah dijelaskan di atas.

-	0^o	30^o	45^o	60^o	90^o	120^o	135^o	150^o	180^o
sin	0	½	½√2	½√3	1	½√3	½√2	½	0
cos	1	½√3	½√2	½	0	-½	-½√2	-½√3	-1
tan	0	1/3√3	1	√3	-	-√3	-1	-1/3√3	0

-	210^o	225^o	240^o	270^o	300^o	315^o	330^o	360^o
sin	-½	-½√2	-½√3	-1	-½√3	-½√2	-½	0
cos	-½√3	-½√2	-½	0	½	½√2	½√3	1
tan	1/3√3	1	√3	-	-√3	-1	-1/3√3	0

Nah, di atas adalah tabel nilai perbandingan trigonometri sudut istimewa. Karena jumlahnya tidak sedikit, maka sebenarnya kita cukup menghafal sudut 0^o - 90^o saja. Selebihnya, kita dapat mengikuti pola tabel di atas. Untuk lebih jelasnya perhatikan contoh berikut :

Anggaplah anda sudah hafal nilai trigonometri untuk sudut 0^o - 90^o. Lalu anda diminta untuk menentukan nilai sin 150^o, dan cos 135^o. Sebenarnya ada dua trik untuk menjawab soal ini yaitu :

Anda harus hafal sudut-sudut apa saja yang istimewa dan bagaimana polanya.

Perhatikan tabel di atas! Anggaplah mereka sebagai suatu barisan dengan pola yaitu diawali dari 0 kemudian ditambah 30, ditambah 15, dan ditambah 30 lagi sampai sudut 90^o. Untuk sudut selanjutnya, pola tersebut berulang sampai ke sudut 360^o. Nah, pada soal kita diminta untuk menentukan nilai sin 150^o, dan cos 135^o. Jika anda sudah hafal sudut-sudut istimewa, maka anda akan tahu bahwa sudut 150^o berada di sebelah sudut 135^o. Anda dapat membuat coretan kecil jika belum terlalu hafal. Tulis barisan sudut istimewa sebagai berikut :

0^o 30^o 45^o 60^o 90^o 120^o 135^o 150^o

Selanjutnya, anda harus hafal pola nilai trigonometri seperti yang terlihat pada tabel yaitu :
⇒ Untuk sinus = 0 − ½ − ½√2 − ½√3 − 1 − ½√3 − ½√2 − ½ − 0.
⇒ Untuk cosinus = 1 − ½√3 − ½√2 − ½ − 0 − ½ − ½√2 − ½√3 − 1.

- 0^o 30^o 45^o 60^o 90^o 120^o 135^o 150^o

sin 0 ½ ½√2 ½√3 1 ½√3 ½√2 ½

cos 1 ½√3 ½√2 ½ 0 -½ -½√2 -½√3

Nah, berdasarkan tabel yang sudah kita buat, maka jelas terlihat bahwa :
sin 150^o = ½
cos 135^o = -½√2

Tahap awal memang terkesan masih rumit, tapi percayalah jika anda sudah terbiasa dengan pola itu maka anda akan langsung tahu nilainya tanpa harus membuat coretan terlebih dahulu.
Anda harus faham konsep relasi sudut antar kuadran
Pada artikel sebelumnya telah dibahas rumus pebandingan trigonometri untuk sudut-sudut berelasi. Hanya ada beberapa aturan yang harus diingat yaitu :
⇒ Untuk sudut (90 ± a) dan (270 ± a) berlaku : sin = cos, cos = sin, tan = cot, cot = tan, sec = cosec, cosec = sec ; dengan tanda positif dan negatif disesuaikan berdasarkan ASTC.
⇒ Untuk sudut (180 ± a) dan (360 ± a) berlaku : sin = sin, cos = cos, tan = tan, cot = cot, sec = sec, cosec = cosec ; dengan tanda positif dan negatif disesuaikan berdasarkan ASTC.

Sekarang kembali ke soal.
sin 150^o = sin (90 + 60)
⇒ sin 150^o = cos 60
⇒ sin 150^o = ½
Keterangan : sudut 150^oberada pada kuadran II (hanya sinus dan cosecan yang positif), jadi sin 150^o bernilai positif. Tanda sin berubah jadi cos karena kita menggunakan operator (90 + a).

cos 135^o = cos (180 - 45)
⇒ cos 135^o = - cos 45
⇒ cos 135^o = -½√2.

Keterangan : sudut 135^oberada pada kuadran II (hanya sinus dan cosecan yang positif), jadi cos 135^o bernilai negatif. Tanda cos tetap jadi cos karena kita menggunakan operator (180 - a).

Kalau kita menggunakan rumus (90 + a) untuk soal no 2, maka :
cos 135^o = cos (90 + 45)
⇒ cos 135^o = - sin 45
⇒ cos 135^o = -½√2.
Keterangan : sudut 135^oberada pada kuadran II (hanya sinus dan cosecan yang positif), jadi cos 135^o bernilai negatif. Tanda cos berubah jadi sin karena kita menggunakan operator (90 + a).